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黎曼可积最新视觉报道_riemann lebesgue(2024年12月全程跟踪)

内容来源：兔耳朵在线影院所属栏目：热点更新日期：2024-12-02

黎曼可积

连续、有界、可积之间的关系详解 ### 连续与有界的关系 𐟓‰ 首先，我们来看看连续和有界之间的关系。连续函数一定有界：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定有界。这是因为连续函数在闭区间上能取到最大值和最小值，所以函数值必然在最大值和最小值之间，即函数有界。例如，函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([-\pi, \pi]\) 上连续，且值域在 \([-1, 1]\) 之间，所以 \( f(x) \) 在该区间上有界。有界函数不一定连续：虽然有界函数是对函数值范围的限制，但它并不能保证函数的连续性。例如，狄利克雷函数 \( D(x) = 1 \) 当 \( x \) 是有理数，且 \( D(x) = 0 \) 当 \( x \) 是无理数，在整个实数域上是有界的，但在任意一点处都不连续。连续与可积的关系 𐟓ˆ 接下来，我们探讨一下连续和可积之间的关系。连续函数一定可积：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定可积。因为连续函数的图像是一条连绵不断的曲线，不存在无限大的跳跃或间断，所以可以通过分割、求和、取极限的方式来计算定积分。例如，函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，那么 \( f(x) \) 在 \([0, 1]\) 上可积。可积函数不一定连续：虽然可积函数不一定是连续函数，但如果函数在闭区间上有界，且只有有限个间断点，那么该函数在闭区间上也是可积的。例如，函数 \( f(x) = 1 \) 当 \( x \) 是有理数，且 \( f(x) = 0 \) 当 \( x \) 是无理数，在整个实数域上有界，但在任意一点处都不连续，但它在任何区间上的积分值都可以用常规的黎曼积分方法来计算。有界与可积的关系 𐟓Š 最后，我们看看有界和可积之间的关系。可积函数一定有界：可积函数一定是有界的。这是黎曼可积的必要条件，因为如果函数无界，那么在进行积分时，无法保证积分的和是有限的，也就不满足可积的定义。有界函数不一定可积：虽然有界函数可以保证在一定范围内取值，但它并不一定可积。例如，狄利克雷函数虽然在任何区间上的积分值都无法用常规的黎曼积分方法来计算。案例分析 𐟔 现在我们来分析一个具体的例子：判断函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的可积性。分析：需要判断函数在给定区间上的连续性和间断点情况。解答：当 \( x = 0 \) 时，\( f(x) = \sin x \) 是连续的；当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) \to 1 \)，而 \( f(0) = 1 \)，所以函数在 \( x = 0 \) 处连续。因此，\( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 上连续，根据连续函数必可积的结论，\( f(x) \) 在该区间上可积。

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

2022年华中师范大学数学分析试卷解析这份数学分析试卷总体难度适中，但有一道计算题让人有些摸不着头脑，涉及到了beta函数和gamma函数的计算。第一大题：计算题 𐟧쬤𘀥𐏩☯𜚦𑂦ž限这道题可以通过结合等价无穷小和泰勒展开来快速解答。第二小题：二重积分经过变量替换后，这道题变得相对简单。第三小题：曲线积分考察了格林公式的应用。第四小题：曲面积分直接使用高斯公式即可解决。第二大题：证明题 𐟓œ 第一小题：一致连续性通过导数有界结合定义来证明一致连续性。第二小题：分一致连续性利用归结原则的方法举例函数列来证明。第三大题：构造函数求导 𐟓ˆ 通过移项构造函数求导来判断最值，并证明不等式。第四大题：反常积分的敛散性 𐟌 变形后可以通过等价来解决。第五大题：函数项级数的一致连续性 𐟓š 通过和函数收敛来证明，第二小题可以利用第一小题的结果简化。第六大题：含参量反常积分的敛散性 𐟌Š 看到有sin cos时，容易想到狄利克雷判别法。第七大题：黎曼引理的应用 𐟓 第一小题判断被积函数可积后，由黎曼引理可以得到结论。第二小题通过第一小题的结果和已知条件很容易得到结果。

大学数学速成攻略：微积分篇嘿，朋友们！上次我分享了如何用两三天速成大学数学或统计期末考试的方法，没想到还有不少人问我具体该怎么操作。今天我就再来总结一下，顺便举个微积分的例子，希望大家能举一反三，学会方法后每门课的复习都不再是问题。速成方法论 𐟓š 首先，你需要找到老师总结的课程笔记，大概100页以内。如果老师没给，那就去求学霸吧，或者上网搜Oxford这门课的笔记，肯定能找到。花两天时间，每天10小时左右，把笔记看完，定义定理背熟，证明也尽量背下来。然后再花半天时间看看老师布置的作业题和往年试卷，时间不够的话只看思路不用做。微积分的速成要点 𐟓– 看完笔记后，你对这些基本的定义定理有概念吗？比如Epsilon-delta版本的连续、极限、可导、黎曼可积定义，这些定义怎么从一元函数推广到多元函数，尤其是二元函数。还有可导与连续的关系和反例，二元函数如何沿着不同路径求极限和偏导，证明二元函数在某点极限不存在、不连续或者不可导有哪些方法。一元积分怎么做换元尤其是三角变换，分步积分。一元、二元、三元积分的几何或物理意义。两种线积分的物理意义和表示方法，包括换元法（尤其是polar coordinate, cylindrical coordinate, sphere coordinate）在内的计算方法。关于线积分有三大著名定理：Green’s theorem, Stoke’s theorem, Divergence theorem，你能立刻默写出来吗？知道这些定理涉及的vector field, flux, divergent是什么定义，并且能应用到计算题上吗？最后一条，这条本来大家高中都会的但很多人大学就忘了：把你会做的都做对，不会做的放弃。别因为担心漏掉什么没复习的就紧张不敢做题。希望这些方法能帮到你们，祝大家期末考试顺利通过！𐟒ꀀ

我家猫咪救了我一命𐟐𑊦œ‰时候，生活中最不起眼的瞬间却能带来最大的救赎。那天，我独自坐在书桌前，被一堆复杂的数学公式和物理定理搞得头晕眼花。泰勒公式、一致连续定理、黎曼可积、傅里叶级数……这些名词在我脑海中交织成一片混乱的梦境。我努力地想要找到那个正确的答案，但大脑却像被一团火焰燃烧着，心跳加速，汗水直流。就在我快要崩溃的时候，小布丁跳上了书桌。它伸了个懒腰，打了个哈欠，然后蹭了蹭我。那种柔软而温暖的触感，仿佛一缕清风拂过我的心头，让我瞬间冷静了下来。我看着它那双鸳鸯眼，灵动得像两颗玻璃球，心中涌起一股莫名的平静。小布丁总是能在我最需要的时候出现，它仿佛是上天派来拯救我的天使。每次我心情低落，它总会默默地陪在我身边，用它的方式让我感受到温暖和安慰。与其说是我养了它，倒不如说是它拯救了一个在人间腐臭麻木又脆弱的灵魂。那天，小布丁不仅救了我，也让我重新找回了内心的平静和力量。感谢这只可爱的小猫咪，它用它的方式，让我的生活变得更加美好。

如果假定连续那么很容易利用导数得到证明,但如果不假定f连续该怎么证明呢?请问有大佬有思路吗?

金融数学名词大集合：从基础到进阶今天我们来探索一些金融数学中的基础名词，从最基础的测度开始，像报菜名一样一一列出：外测度 𐟓 可测集 𐟓 可测函数 𐟓ˆ 勒贝格可测 𐟓Š 勒贝格测度 𐟓 Borel可测 𐟓 一致收敛 𐟔„ p方收敛 𐟓ˆ 几乎处处收敛 𐟓Š 依测度收敛 𐟓 依分布收敛 𐟓 勒贝格积分 𐟓ˆ 黎曼积分 𐟓Š 简单函数 𐟓 非负函数 𐟓 一般可测函数 𐟓ˆ 零测集 𐟓Š sigma域 𐟓 乘积sigma域 𐟓 截口 𐟓ˆ Fubini定理 𐟓Š 有界变差函数 𐟓 Lipschitz连续 𐟓 绝对连续性 𐟓ˆ 几乎处处有界 𐟓Š L1可积 𐟓 Lp可积 𐟓 Stieljes积分 𐟓ˆ 条件期望 𐟓Š Jensen不等式 𐟓 随机过程 𐟓 适应过程 𐟓ˆ 可测过程 𐟓Š 可料过程 𐟓 可选过程 𐟓 循序过程 𐟓ˆ 一致可积 𐟓Š 今天我们就先介绍这些名词，下次我们继续探索更多有趣的概念。

澳洲大学数学课程辅导指南 𐟓š 在澳洲留学，数学课程可是不少同学的心头大事。今天，我就来给大家分享一些关于澳洲大学数学课程的辅导心得，特别是针对悉尼大学的MATH1021-Calculus Of One Variable这门课。 MATH1021：单变量微积分 𐟓ˆ MATH1021这门课主要涵盖复数、单变量函数、极限和连续性、微分、优化、泰勒多项式、泰勒定理、泰勒级数、黎曼和和黎曼积分等内容。这门课在科学、工程和经济学中有着广泛的应用。个人建议，最好在开始多元微积分和建模（MATH1023或MATH1923）之前，先搞定MATH1021或MATH1921的单变量微积分（高级）。成绩构成 𐟓Š 这门课的成绩构成是这样的：Final exam占65%，一个Quiz占15%，两个Assignment各占12%，再加上每周的练习题占8%。看起来还挺公平的，不过也别小看平时的练习题，积少成多也是不少分呢。其他数学课程 𐟓– 除了MATH1021，还有其他一些数学课程也值得关注，比如MATH1014线性代数、MATH1023多变量微积分和建模（MATH1115高等数学及应用）、MATH1551到MATH1592的一系列课程，还有高级线性代数（MATH1902）和数值分析（MAPLE）等。个人经验分享 𐟌Ÿ 我自己在北大读的数学系PhD，虽然现在不在澳洲教书了，但依然对数学充满了热情。我觉得，数学这东西，真的是一分耕耘一分收获。只要你用心去学，质量自然会决定一切。结语 𐟎“ 希望这些信息能帮到大家，特别是在澳洲留学的同学们。数学虽然难，但只要你有耐心和毅力，相信你一定能攻克它！加油！𐟒ꀀ

澳洲大学数学课程辅导指南 𐟓š 在澳洲留学，数学课程可是不少同学的心头大事。今天，我就来给大家分享一下如何在悉尼大学学好MATH1021-Calculus Of One Variable这门课，以及其他相关数学课程的辅导心得。 MATH1021：单变量微积分 𐟓ˆ MATH1021这门课涵盖了复数、单变量函数、极限和连续性、微分、优化、泰勒多项式、泰勒定理、泰勒级数、黎曼和和黎曼积分等主题。这门课在科学、工程和经济学中有着广泛的应用。考试方面，Final exam占了65%的最终成绩，两个Quiz各占15%，两个Assignment占12%，而每周的练习题则占了8%。可以说，平时的积累和练习非常重要。其他数学课程 𐟓š 除了MATH1021，还有其他一些相关的数学课程，比如MATH1014线性代数、MATH1023多变量微积分和建模、MATH1115高等数学及应用等。这些课程在悉尼大学的数学系中有着重要的地位。个人经验分享 𐟌Ÿ 我自己在北大读的数学系，PhD毕业后在澳洲从事教学和辅导工作。可以说我积累了不少经验和心得。比如，在学习微分的时候，一定要注意理解导数的几何意义和物理意义，这样才能更好地掌握。如何高效学习？ 𐟒ኊ首先，一定要做好课前预习，了解即将学习的内容。其次，上课时要认真听讲，做好笔记。最后，课后要及时复习，完成作业和练习题。小贴士 𐟓 在学习过程中，遇到不懂的问题不要拖延，及时向同学或老师请教。同时，也可以利用一些学习资源，比如网上教程、辅导书等。希望这些小贴士能帮到大家，祝大家在澳洲大学的数学课程中取得好成绩！𐟓ˆ

悉大暑假必选高性价比课程推荐暑假来临，许多同学计划在假期里充实自己，提升学分。今天为大家推荐几门悉大Intensive课程，助你轻松刷分！ 𐟓š【Math1014 - 线性代数入门】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这门课程是线性代数的入门级课程，涵盖了向量、线性方程组、矩阵、特征值和特征向量的基本概念。特别强调了其在生命科学和技术科学中的应用。作业包括两个测试、两个书面作业和期末考试。理科背景的学生可能会觉得非常轻松，而文科生则需要多花一些时间，但整体来说，这是一门适合冲刺高分的选修课。 𐟓˜【Math1021 - 一元微积分】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是一门基础的一元微积分课程，涉及复数、单个变量的函数、极限和连续性、微分、优化、泰勒多项式、泰勒定理、泰勒级数、黎曼和和黎曼积分等主题。与Math1014一样，这门课程也是3学分，是许多学生刷分的经典选择。 𐟓ˆ【Econ1001 - 微观经济介绍】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是经济学专业的必修课，也是文学院和商学院学生的热门选修课。课程介绍了基础的微观经济学，前半学期内容简单易懂，后半学期难度逐渐增加。虽然有一定的挑战性，但文科生也能通过努力取得不错的成绩。 𐟍【Edgu1003 - 营养学】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这门课程在三四年前曾是悉大的水课之一，但近年来难度有所增加。课程内容涉及生物学词汇和知识，作业则包括评估健康状况和设置食谱等有趣的任务。如果你对营养学感兴趣，这门课程可以让你在个人健康管理上获得一些实用的知识。 𐟓Š【Mktg3400 - 行业公司项目】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是intensive中难得一见的专业课，属于marketing专业的3级选修课。学生可以选择一个感兴趣的公司或话题，与组员、导师和公司负责人讨论并设计解决方案。虽然这门课程比较冷门，但它提供了与行业内优秀公司接触的机会，是一门实践性很强的课程，非常适合写入简历。