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平方和不等式权威发布_平方和不等式公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：兔耳朵在线影院所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

平方和不等式

𐟓š每日一练：数学与逻辑挑战解析𐟧ŸŒ𑦕𐥭榌‘战：复合函数 𐟓ˆ 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x的函数y=f(g(x))称为f与g的复合函数，u为中间量。柯西不等式 𐟓 对于任意实数，柯西不等式恒成立。记忆方法：乘积和的平方≤平方和的乘积，即(ac+bd)Ⲣ‰䨡ⲫbⲩ(cⲫdⲩ或(ad+be+cf)Ⲣ‰䨡ⲫbⲫcⲩ(dⲫeⲫfⲩ，当共线时取等号。虚拟函数 𐟌Œ 虚拟函数没有固定形式，需根据题干信息寻找函数关系。常见方法有：构造函数、构造方程组、递推函数等。恒成立 𐟔 重要结论见评价置顶。 𐟧 逻辑挑战：假言推理 𐟤” 假言推理模型题干特点：出现充分条件、必要条件、充要条件的典型关联词，如“如果…那么…”，“只有…才…”，“除非…否则…”等。选项特点：选项一般由假言或选言判断组成。三步解题法 𐟓 第1步：画箭头。将题干符号化，用“→”表示。第2步：逆否。写出题干的逆否命题。如有必要，可把箭头变或，即A→B=非AVB。第3步：找答案。根据箭头指向原则判断选项的真假。

高中数学教资面试逐字稿：基本不等式与集合各位评委老师，大家好！我是今天的考生，今天试讲的内容是《基本不等式》和《集合的概念》。下面开始我的试讲。基本不等式 𐟓š 首先，我们来看一下基本不等式。这个不等式可以用几何平均数来表示，即两个正数的算数平均数大于等于几何平均数。这个不等式的代数意义是：任意两个正数a和b，都有a+b/2≥√ab。我们可以通过图形的几何关系来理解这个不等式。比如，AB是圆的直径，C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。利用这个图形，我们可以得到基本不等式。大家可以利用小组讨论的方式来探索这个不等式的证明过程，时间大约5分钟。在老师巡视的过程中，发现大家讨论得非常积极。第五小组提出了一个特别新颖的证明方法，他们先给基本不等式左右乘2，然后移项，最后得到了完全平方和公式，因此证明了基本不等式。大家同意他们的结论吗？都同意！集合的概念 𐟧接下来，我们来看一下集合的概念。集合是由一些元素组成的总体。这些元素可以是具体的数字、物体，也可以是抽象的概念。比如，“我们班高个子的同学”、“我国的大城市”、“食堂好吃的菜”等都可以构成集合。但是，并不是所有的例子都能构成集合。比如，“我们班所有同学的身高”就不能构成集合，因为没有确定的研究对象。而“我国的大城市”则可以构成集合，因为大城市有明确的标准。通过这个例子，我们可以发现，构成集合的元素需要满足确定性。也就是说，元素必须有一个明确的衡量标准。除了确定性，集合还满足互异性和无序性。互异性是指集合中的元素不能重复，无序性是指元素的排列顺序不影响集合的本质。总结 𐟓 一节课的时间很快就过去了，大家有什么总结吗？班长来总结一下吧。这节课我们学习了基本不等式的代数和几何意义、特征及推导过程，还探讨了集合的概念和性质。希望大家课后能够复习巩固，掌握好这些知识点。课后作业 𐟓š 最后，布置一下课后作业：完成本节课的剩余练习题，并整理数学笔记。同学们，下课！答辩 𐟎䊧픨𞩱：教学中学生的哪些能力得到了培养？如何培养的？答案：在本节课的教学过程中，学生锻炼了多方面的能力。比如在基本不等式的学习过程中，学生进行了小组合作解决实际问题，锻炼了团队协作能力和语言表达能力。在观察大会会标时，学生也锻炼了观察能力和空间想象能力。通过这些活动，学生明白了数学与生活的紧密联系，也学会了多角度思考问题的方法。答辩2：你认为你有什么优势？答案：我非常喜欢教师这个职业，做一名人民教师是我的理想。教师资格证是成为教师的必备证件，在这方面我认为自己有以下几个优势：首先，从专业方面来说，我本身就是数学专业出身，并且在日常学习生活中不断学习教育学及教育心理学的相关理论；其次，从性格方面来说，我热情、耐心、有爱心，并且善于沟通；最后，从实践经验来看，我在课余时间有过充足的家教经验，对于学生现行的教材非常了解，并且对于学生的学习有自己独有的心得。如果我有幸走上教师岗位，我会充分发挥自己的特长，并严格遵守教师的职业道德规范。

高中数学二级结论汇总，必备学习资料！ 𐟓š 高中数学二级结论汇总，涵盖各种重要公式和定理，是学习和复习的宝贵资源。以下是部分内容摘要： 𐟔 函数奇偶性与对称性奇函数：若函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则为奇函数。偶函数：若函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则为偶函数。对称性：关于x=a对称：若y=f(x+a)为偶函数，则f(x)关于x=a对称。关于点(a,0)对称：若y=f(x+a)为奇函数，则f(x)关于点(a,0)对称。关于直线x=a对称：若f(x)=f(2a-x)，则函数关于直线x=a对称。关于点(a,b)对称：若f(x+f(2a-x)=2b，则函数关于点(𜌢)对称。 𐟓ˆ 函数周期性周期函数：若存在正数T，使得对于所有x都有f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期为T的周期函数。推论：若f(x+m)=cf(x)+d，则f(x)是周期为3m的周期函数。若f(x+m)=1-f(x)，则f(x)是周期为3m的周期函数。若f(x+m)=1+f(x)，则f(x)是周期为2m的周期函数。 𐟓Š 函数最值与双变量函数不等式问题最值问题：利用平方和为常数，求函数的值域。双变量函数不等式问题：利用包裹性定理，求函数的最大值和最小值。 𐟓š 指对运算与换底公式对数运算：log.()=lg.M+log.N；log.b=log.a。换底公式：logb=log.a。 𐟓ˆ 三角换式与对称中心平移三角换式：利用平方和为常数，求函数的值域。对称中心平移：将奇函数g(x)向上平移m个单位，得到f(x)=g(x)+m。 𐟓Š 最值与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一：若y=f(x)满足Vx,ED、|(x)-f(x)

高等数学笔记：函数、极限、无穷小、连续 𐟓š 常用基础知识数集：常用的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集。平方差公式、立方差公式、立方和公式：这些公式在计算和证明中非常有用。完全平方公式、完全立方公式：这些公式可以帮助我们更简单地处理平方和立方的问题。十字相乘法、求根公式法：这些方法在解一元二次方程时非常实用。一元二次不等式、绝对值不等式：这些不等式在解决各种数学问题中都有应用。 𐟔 函数定义域、值域、对应法则：这是理解函数的基础。六大类基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和复数函数。二倍角公式、降幂公式：这些公式可以简化三角函数的计算。常见的三角函数值：如正弦、余弦、正切等。有界性、单调性、奇偶性、周期性：这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质。求反函数、复合函数：这些操作在函数变换中非常常见。 𐟓ˆ 数列极限等差数列、等比数列：这些数列是数列极限的基础。数列极限的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。无穷比无穷型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无限项数列极限的计算：包括收敛和发散的情况。夹逼准则：这个准则在证明数列极限时非常有用。 𐟓‰ 函数极限函数极限的四则运算法则：包括加法、减法、乘法和除法。需要计算左右极限的情况：这在实际计算中非常常见。零比零型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无穷减无穷型极限的计算：这种极限的计算方法也比较常见。两个重要极限：包括洛必达法则和夹逼准则。 1的无穷次方型极限的计算：这种极限的计算方法也比较重要。 𐟌€ 无穷小无穷小性质：无穷小的性质可以帮助我们更好地理解极限的概念。两个无穷小阶的比较：包括高阶无穷小和低阶无穷小的比较。常见的等价无穷小代换：这些代换在计算中非常实用。极限的反问题：通过反问题可以更好地理解极限的概念。 𐟖𜯸 连续左连续与右连续：这是理解连续性的基础。函数在一点处连续的充要条件：包括左连续和右连续的条件。连续函数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。复合函数的连续性：复合函数的连续性是函数连续性的重要部分。函数间断点的分类：包括可去间断点和跳跃间断点等。闭区间上连续函数的性质：这些性质可以帮助我们更好地理解闭区间上连续函数的性质。初等函数的连续性：初等函数的连续性是函数连续性的基础。

新高考数列专题（上）：40小时整理精华又花了四十个小时整理新高考数列专题的内容，真是累到不行！不过，数列专题确实是个大宝藏，考查形式多样，内容丰富，挑战性十足。所以，这周先给大家分享一半的内容，主要包括等差等比数列和数列求通项两部分。下周再继续分享数列求和以及数列不等式放缩的技巧。等差等比数列综合 𐟓ˆ𐟓‰ 往年高考对等差等比数列的考查比较多，大部分题目都很基础，基本上用基本方法就能解决。等差等比中项的考查也大多很简单，所以基础薄弱的同学可以不用太在意这部分。不过，基础好的同学可以适当拓展一下，毕竟新高考的题目难度有所提升，选择填空题还是有可能会考的。需要重点关注的几个方面： an和sn的正负以及最大值最小值何时取的问题。等差等比数列重叠项的问题。等差等比的函数性质。高阶等差等比数列的通项与求和（顺便记下自然数列平方和、立方和公式）。和数列、斐波那契数列。等差等比中项拓展求参数的问题（an与sn的关系为重点）。数列递推求通项 𐟚€ 关于数列递推求通项的考查，比较基础的是sn与an之间的递推，消元法（消s/a）比较容易出错，一定要注意讨论。这部分也是高考的热门考点。另一个新高考热门考点就是隔项递推，分奇偶递推如何求通项。建议大家多加练习，尤其要从2k,2k-1如何变回n。其他求通项的基础方法还有因式分解、累加累乘法以及待定系数法、取倒数法，这些方法也很大概率会结合消元法进行考查。此外，特征方程法、不动点法、数学归纳法、同构技巧虽然很多情况高考会有提示，但建议基础好的同学还是要学习，理解原理。小结 𐟓 喜欢的话记得点赞收藏哦！感谢大家的支持，下周五继续为大家更新数列（下）的内容！

线段比例最值题第五十回，涉及边长578的三角形，两定点为三角形中的两个顶点，动点为平面内保证到三角形中两个顶点距离平方和为定值的点，如何解？分享三种解法。解本题，最好能熟知：三角形如三边长分别为5、7、8，则长度为5、8的边的夹角为60度，反之，如夹角为60度角的两边长为5、8，则对边长为7。而且，5、7边夹角的余弦值为1/7。熟知这些，解本题可节省时间，但不熟知也没有关系，通过简单运用勾股定理就可获得以上结论。解本题的关键点也是难点所在是确定动点D的轨迹，因D到C、B的距离平方和为定值，那可以排除轨迹为直线，基本可确定是圆。如果能确定D的轨迹为圆，那本题就是一道圆上一动点到两定点距离之比的最值问题，可以有较多的方法来求最值。本回分享三种确定点D运动轨迹的方法。法一利用数形结合，主要是运用勾股定理，过程稍显复杂，但用到的都是初中阶段课本内知识；法二通过建系得到D点的函数表达式为圆的方程，在初中阶段貌似超纲了；如果看官您知道中线定理并掌握在判断共圆时不常用的方法——利用中线定理判断圆的方法，那么确定D的轨迹将简单得多，如法三。所谓中线定理是指三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半与该边中线平方和的2倍。落实在本题，即是三角形BCD中，O是BC中点，OD是中线，那么就有：CD^2+BD^2=2（CO^2+OD^2），而等式前半及CO均为定值，故可求得OD的长，即可确定D的轨迹为以O为圆心OD长为半径的圆。在确定D的轨迹为圆后，法一通过手拉手模型+阿氏圆进行转换并确定转换后的动点轨迹；法二采用割线定理+相似进行转换并直接利用既有的圆O求最值；法三利用托勒密不等式。三种方法均为圆上动点到两定点距离之比最值问题的常用解法。最后附上一道线段比例最值题，难度不小，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法三”均引用自@善数堂的2024-1-30的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

线段比例最值题第五十六回，有难度，确定动点P的轨迹是解题关键，分享三种确定轨迹的方法以及确定轨迹后的三种求比例最值解法解本题首先要解决的是如何确定动点P的轨迹。法一、法二均用到了平面几何的一个知识点：任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和‌。法一用上述知识点以及中线定理的证明方法——多次运用勾股定理结合条件中的线段长度关系得到动点P到定点E的距离为定值，说明点P在以E为圆心，该定值为半径的圆上。法二则直接利用该知识点及条件中的线段长度关系得到PA与PD的比例值为定值，而AD又是定线段，故可确定P的轨迹为阿氏圆。法三则通过建系利用条件中线段的长度关系得到动点P的函数表达式是圆的方程式，从而得到P所在圆的圆心位置及半径长度。在确定P的轨迹是圆后，本题就转化为圆上一动点到两定点距离之比的最值问题，此类题型可以用多种方法来解，本回分享三种不同解法（注：本系列动态的第十回讲解了一道比较经典的圆上动点到两定点距离之比最值题，分享了六种解法，感兴趣的学友可以仿照里面的其它解法来解本题）。法一用构造手拉手相似进行转换，并利用阿氏圆确定转换后的动点运动轨迹。法二通过子母型相似构造凸四边形利用托勒密不等式求线段比例最值。法三则通过求得过圆心E的割线CST的CS*CT=3，利用割线定理得到另一割线CQ*CP=CS*CT=3，而CB=3，故只需在BC上取CD=1，就可以得CQ*CP=CD*CB，从而组成一对共角型相似三角形实现两动线段PB/PC到DQ（动）/DC（定）的转换。因点D为定点，点Q是圆E上动点，故可以方便地求得DQ的最小值。附上一道线段比例最值题，条件给出了比较奇特的线段长度值，有一定难度，感兴趣的学友可以先做起来，欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法二”均引用自@善数堂的2024-2-12的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

高中数学考点、重点、难点高考既然作为选拔性考试，肯定要求试题要具有筛选的功能（三六九等），就是考大家学过的，但是解题思路就是想不到的。很多同学对于老师讲过的题型，基本能做出来，没讲过的就不知所措了。解决这类问题要对知识点纵观全局，建立联系。高考数学卷可以通过不同章节模块的具体形式，来考察不等式问题，特别是不等式作为“动态”问题时（如涉及多参、多变量问题，求最值、范围），难度是较大的。不等式的求解过程一般就是寻求“最优边界”。在上几篇动态文章中也整体描述了求解不等式主要数学思想和数学技巧，这些是大家形成解题思路和数学思维习惯是必须的。且在上一篇中提到高考数学涉及基本不等式的考察通常在5~6分，而且这部分的题目灵活多变，难度较大，那为什么还是建议大家花费一定的时间去研究这一部分？因为基本不等式首先是不等式的一个子集，只要是不等式就涉及很多的解题思想和技巧。特别是这些解题思想和技巧又是后面综合题（如函数和三角函数、圆锥曲线与立体结合和向量等）形成解题思路、解决卡点问题所必须的。是运用【转化与化归】思想很好的训练模型。基本不等式专题，内容丰富，大家需要将解题的方法做一个归纳总结。尽可能的达到见形知意之目的（给出具体的题目形式，大致判断出命题人要考的是什么，考察的是“1”的代换？考察的是换元？考察的是配凑？考察的是对勾函数？考察的是指对基本不等式？考察的是放缩（a2+b2≥2ab，就是一个最为基本的放缩）？考察的是均值不等式？）。什么是均值不等式【调和平均数、几何平均数（可以构造什么？三角形勾股定理）、算数平均数、平方平均数之间存在怎样的关系】？均值不等式的证明方法有哪些？【数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等】，这些方法是怎么证明的。高考数学想考130以上的同学不可不查。看下面一个题目：文末图【分析】我在上课的时候，很多同学提出，数列没有给出通项或递推式，题目是不是出错了。我通常会反问，关于数列的题目，就必须给出通项或解析吗？我们说数列就是一类特殊函数，函数部分不是有抽象函数嘛，抽象函数也没见得都给出解析式，再仔细观察这个题目。虽然题目具体的形式给出的是数列，但是要求解的问题还是显而易见，大家想一下题目要表达的是不是就是给定三个正数，这三个正数的平方和大于两两乘积的和（一定要会理解翻译题目，这是新定义题必须掌握的能力）。找课本上与之相似的最为基本的形式a2+b2≥2ab（一定要联想课本公式“神”与之最为相近的，这是碰到难题必备的技能，如今年教育部命制的九省联考最后压轴题，考的就是指对求和公式）。看到这里大家会了吗？文末图【分析】这个题目是在某个资料上看到的，虽然不严谨，但是在实数域范围内还是能做的（空间域内，感兴趣的可以自行研究一下）。本题虽然是涉及到函数和绝对值问题。本质上与∣a∣<1，∣b∣<1，求证∣a+b∣<1+∣ab∣又有什么区别呢？看题目一定要深入内核，抓出最为本质上的东西。在文章中一再强调大家要“看山不是山，看山还是山”，就是这个目的。理解它、吃掉它，数学想学不好都很困难！文末图【分析】这是一道非常简单的题目，直接利用三角函数的性质和不等式变换，结合三角形内角和为š„性质，可以证明。这不是要说明的重点。如果这道题结合了圆锥曲线或立体几何或向量，并揉进了正余弦定理、焦点三角形、三角形面积、四心问题，那么这道题就会变成难题。将自己想象成命题人，看看怎样将这些知识点拼凑到一起，强化训练一下自己知识体系。更多母题与方法，可以进黄少主页专栏找到《高考数学压轴题突破系列》。个人观点，仅供参考 #教育创作激励计划#

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